Gaussian in Parabola za preučevanje LED svetlobnih tokov eksperimentalne svetilke: 6 korakov

2024 Avtor: John Day | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-30 12:02

Pozdravljeni vsi ustvarjalci in živahna skupnost Instructable.

Tokrat vam bo Merenel Research prinesel čisti raziskovalni problem in način, kako ga rešiti z matematiko.

Sam sem imel to težavo, ko sem izračunal LED -tokove LED -svetilke RGB, ki sem jo zgradil (in jo bom naučil graditi). Po obsežnem iskanju po spletu nisem našel odgovora, zato tukaj objavljam rešitev.

TEŽAVA

Zelo pogosto se moramo v fiziki soočiti s krivuljami, ki imajo obliko Gaussove porazdelitve. Ja! To je zvonasta krivulja, ki se uporablja za izračun verjetnosti in nam jo je prinesel veliki matematik Gauss.

Gaussova krivulja se pogosto uporablja v fizičnih aplikacijah v resničnem življenju, še posebej, če imamo na primer obravnavo sevanja, ki se širi iz vira ali sprejema iz sprejemnika, na primer:

- oddajanje moči radijskega signala (npr. Wi-Fi);

- svetlobni tok, ki ga oddaja LED;

- branje fotodiode.

V podatkovnem listu proizvajalca smo pogosto podani dejanska vrednost območja Gaussova, ki bi bila skupna moč sevanja ali svetlobni tok v določenem delu spektra (npr. LED), vendar je težko izračunati dejansko sevanje oddaja na vrhu krivulje ali pa je še težje poznati prekrivajoče sevanje dveh bližnjih virov, na primer, če osvetljujemo z več kot LED (npr. modro in zeleno).

V tem dokumentu z navodili vam bom razložil, kako približati Gaussovo krivuljo, ki jo je lažje razumeti: parabolo. Odgovoril bom na vprašanje: koliko Gaussovih krivulj je v paraboli?

SPOJLER → ODGOVOR JE:

Gaussovo območje je vedno 1 enota.

Površina ustrezne parabole z isto osnovo in višino je 2,13 -krat večja od relativne Gaussove površine (glej sliko za grafično predstavitev).

Tako je Gaussian 46,94% njegove parabole in to razmerje vedno drži.

Ti dve številki sta na ta način povezani 0,46948 = 1/2,13, to je strogo matematično razmerje med Gaussovo krivuljo in njeno parabolo in obratno.

V tem priročniku vas bom vodil, da to korak za korakom odkrijete.

Edini instrument, ki ga potrebujemo, je Geogebra.org, odlično spletno matematično orodje za risanje grafikonov.

Geogebrino karto, ki sem jo naredil za primerjavo parabole z Gaussovo, najdete na tej povezavi.

Ta pouk je dolg, ker gre za predstavitev, če pa morate hitro rešiti isto težavo, ki sem jo imel pri svetlobnih tokovih LED, ali drug pojav s prekrivajočimi se Gaussovimi krivuljami, prosimo, skočite na preglednico, ki jo boste našli priloženo v koraku 5 tega priročnika, ki vam bo olajšal življenje in samodejno opravil vse izračune namesto vas.

Upam, da vam je všeč uporabna matematika, ker ta pouk govori o tem.

1. korak: Razumevanje svetlobe, ki jo oddaja enobarvna LED

V tej analizi bom upošteval vrsto barvnih LED, kot jasno vidite iz njihovega spektra (prva slika), njihova spektralna porazdelitev moči je res videti kot Gaussova, ki konvergira v os x pri -33 in +33nm povprečja (proizvajalci ponavadi podaja te specifikacije). Vendar upoštevajte, da prikaz te tabele normalizira vse spektre na eni enoti napajanja, vendar imajo LED različne moči glede na to, kako učinkovito so proizvedene in koliko električnega toka (mA) vanj vnesete.

Kot lahko vidite, se včasih svetlobni tok dveh LED prekriva v spektru. Recimo, da enostavno želim izračunati prekrivajoče se območje teh krivulj, ker bo na tem področju dvojna moč in želim vedeti, koliko moči v lumnih (lm) imamo tam, no to ni enostavna naloga, na katero bomo poskušali odgovoriti v tem priročniku. Težava je nastala, ker sem pri gradnji eksperimentalne svetilke resnično želel vedeti, koliko se modri in zeleni spekter prekrivata.

Osredotočili se bomo le na enobarvne LED diode, ki oddajajo na ozkem delu spektra. V grafikonu: ROYAL MODRA, MODRA, ZELENA, Oranžno-RDEČA, RDEČA. (Dejanska svetilka, ki jo zgradim, je RGB)

OZADJE FIZIKE

Najprej se malo vrnemo in najprej malo razložimo fiziko.

Vsaka LED ima barvo ali bolj znanstveno bi rekli, da ima valovno dolžino (λ), ki jo določa in se meri v nanometrih (nm) in λ = 1/f, kjer je f frekvenca nihanja fotona.

Torej, kar imenujemo RDEČA, je v bistvu (velik) kup fotonov, ki nihajo pri 630nm, ti fotoni zadenejo snov in odskočijo v naših očeh, ki delujejo kot receptorji, nato pa vaši možgani barvo predmeta obdelajo kot RDEČO; ali pa bi ti fotoni lahko šli neposredno v oči in videli bi LED, ki jih oddaja, svetijo v RDEČI barvi.

Ugotovljeno je bilo, da je svetloba pravzaprav le majhen del elektromagnetnega spektra med 380 nm in 740 nm; torej je svetloba elektromagnetni val. Zanimivo pri tem delu spektra je, da ravno del spektra lažje prehaja skozi vodo. Ugani kaj? Naši stari predniki iz prvotne juhe so bili dejansko v vodi in v vodi so začela razvijati oči prva, bolj zapletena živa bitja. Predlagam, da si ogledate videoposnetek Kurzgesagta, ki sem ga priložil, da boste bolje razumeli, kaj je svetloba.

Če povzamemo, LED oddaja svetlobo, ki je določena količina radiometrične moči (mW) pri določeni valovni dolžini (nm).

Običajno, ko imamo opravka z vidno svetlobo, ne govorimo o radiometrični moči (mW), temveč o svetlobnem toku (lm), ki je merska enota, ki se meri ob odzivu na vidno svetlobo človeških oči, izhaja iz merska enota candela in se meri v lumnih (lm). V tej predstavitvi bomo obravnavali lumne, ki jih oddajajo LED diode, vendar bo vse v enaki meri veljalo za mW.

Proizvajalec vam v vsakem podatkovnem listu LED poda naslednje podatke:

Na primer iz tega priloženega podatkovnega lista vidite, da če napajate oba LED -a s 100 mA, imate to:

BLUE je pri 480nm in ima 11lm svetlobnega toka;

GREEN je na 530nm in ima 35lm svetlobnega toka.

To pomeni, da bo Gaussova krivulja modre višja, povečala se bo, ne da bi se spremenila v širini, in bo nihala okoli dela, omejenega z modro črto. V tem prispevku bom razložil, kako izračunati višino Gaussovega, ki izraža celotno največjo moč, ki jo oddaja LED, ne le moči, ki se oddaja v tem delu spektra, žal bo ta vrednost nižja. Poleg tega bom skušal približati prekrivajoči se del obeh LED, da bi razumel, koliko svetlobnega toka se prekriva, ko imamo opravka z LED, ki so "sosede" v spektru.

Merjenje toka LED je zelo zapletena zadeva. Če želite vedeti več, sem naložil podroben članek Osrama, ki pojasnjuje, kako se stvari delajo.

2. korak: Uvod v parabolo

Ne bom se spuščal v podrobnosti o tem, kaj je parabola, saj se v šoli obsežno preučuje.

Enačbo parabole lahko zapišemo v naslednji obliki:

y = ax^2+bx+c

ARHIMED NAM POMAGA

Rad bi poudaril pomemben Arhimedov geometrijski izrek. Izrek pravi, da je površina parabole, omejene v pravokotniku, enaka 2/3 površine pravokotnika. Na prvi sliki s parabolo lahko vidite, da je modro območje 2/3, roza območja pa 1/3 površine pravokotnika.

Parabolo in njeno enačbo lahko izračunamo tako, da poznamo tri točke parabole. V našem primeru bomo izračunali točko in poznamo presečišča z osjo x. Na primer:

MODRA LED Vertex (480,?) Y vrha je enaka svetlobni moči, ki se oddaja na najvišji valovni dolžini. Za izračun bomo uporabili razmerje, ki obstaja med območjem Gaussovega (dejanski tok, ki ga oddaja LED), in območjem parabole, z Arhimedovim izrekom pa bomo spoznali višino pravokotnika, ki vsebuje to parabolo.

x1 (447, 0)

x2 (513, 0)

PARABOLSKI MODEL

Če pogledate sliko, ki sem jo naložil, lahko vidite zapleten model, ki s parabolami predstavlja več različnih svetlobnih tokov LED, vendar vemo, da njihova predstavitev ni ravno takšna, saj je bolj podobna Gaussovi.

Vendar lahko s parabolami z matematičnimi formulami poiščemo vse točke presečišča več parabole in izračunamo območja sekanja.

V 5. koraku sem priložil preglednico, v katero sem vnesel vse formule za izračun vseh parabolov in njihovih presekajočih se površin monokromatskih LED.

Običajno je osnova Gaussove LED velike 66 nm, zato, če poznamo prevladujočo valovno dolžino in LED sevanje približamo paraboli, vemo, da bo relativna parabola presekala os x v λ+33 in λ-33.

To je model, ki približuje skupno oddano svetlobo LED s parabolo. Vemo pa, da če želimo biti natančni, ni ravno prav, bi morali uporabiti Gaussove krivulje, ki nas pripeljejo do naslednjega koraka.

3. korak: Uvod v Gaussovo krivuljo

Gaussova krivulja, ki bo zvenela bolj zapleteno kot parabola. Gauss ga je izumil za razlago napak. Pravzaprav je na tej krivulji zelo koristno videti verjetnostno porazdelitev pojava. Kar zadeva levo ali desno od povprečja, je določen pojav manj pogost in kot vidite na zadnji sliki, je ta krivulja zelo dober približek pojavov v resničnem življenju.

Gaussova formula je strašljiva, ki jo vidite kot drugo sliko.

Gaussove lastnosti so:

- je simetrično glede na povprečje;

- x = μ ne sovpada samo z aritmetično sredino, ampak tudi z mediano in načinom;

- na osi x na vseh straneh je asimptotična;

- se zmanjša za xμ;

- ima dve pregibni točki v x = μ-σ;

- površina pod krivuljo je 1 enota (verjetnost, da bo kateri koli x preveril)

σ je standardni odklon, večje je število, širša je Gaussova osnova (prva slika). Če je vrednost v deležu 3σ, bi vedeli, da se res oddaljuje od povprečja in je verjetnost, da se to zgodi, manjša.

V našem primeru z LED diodami poznamo območje Gaussove svetlobe, ki je svetlobni tok, naveden v proizvajalčevem listu na danem vrhu valovne dolžine (kar je povprečje).

4. korak: Predstavitev z Geogebro

V tem razdelku vas bom seznanil z uporabo Geogebre, da pokažete, da je parabola 2,19 -krat večja od Gaussove.

Najprej morate ustvariti nekaj spremenljivk, tako da kliknete ukaz drsnika:

Standardni odklon σ = 0,1 (standardni odmik določa, kako široka je Gaussova krivulja, postavil sem majhno vrednost, ker sem želel zožiti simulacijo spektralne porazdelitve moči LED)

Povprečje je 0, zato je Gaussian zgrajen na osi y, kjer je lažje delati.

Kliknite na funkcijo majhnih valov, da aktivirate razdelek funkcij; tam s klikom na fx lahko vstavite Gaussovo formulo in na zaslonu boste videli lepo visoko Gaussovo krivuljo.

Grafično boste videli, kje se krivulja konvergira na osi x, v mojem primeru v X1 (-0,4; 0) in X2 (+0,4; 0) in kjer je oglišče v V (0; 4).

S temi tremi točkami imate dovolj informacij, da najdete enačbo parabole. Če ne želite ročno izračunati, v naslednjem koraku uporabite to spletno mesto ali preglednico.

Z ukazom funkcije (fx) vnesite pravkar najdeno funkcijo parabole:

y = -25x^2 +4

Zdaj moramo razumeti, koliko Gavsov je v paraboli.

Morali boste uporabiti ukaz function in vstaviti ukaz Integral (ali Integrale v mojem primeru, kot sem uporabljal italijansko različico). Določeni integral je matematična operacija, ki nam omogoča, da izračunamo površino funkcije, definirano med vrednostmi x. Če se ne spomnite, kaj je določen integral, preberite tukaj.

a = integral (f, -0,4, +0,4)

Ta formula Geogebra bo rešila definirani integral med -0,4 in +0,4 funkcije f, Gaussove. Ker imamo opravka z Gaussom, je njegovo območje 1.

Enako storite za parabolo in odkrili boste čarobno število 2.13. To je ključna številka za vse pretvorbe svetlobnega toka z LED.

5. korak: Primer iz resničnega življenja z LED: Izračun vrha fluksa in prekrivajočih se tokov

SVETLOJNI FLUKS NA VRHU

Izračunati dejansko višino mešanih Gaussovih krivulj porazdelitve LED toka je zdaj, ko smo odkrili faktor pretvorbe 2,19, zelo enostavno.

na primer:

MODRA LED ima 11lm svetlobnega toka

- ta tok pretvorimo iz Gaussovega v parabolični 11 x 2,19 = 24,09

- z Arhimedovim izrekom izračunamo relativno površino pravokotnika, ki vsebuje parabolo 24,09 x 3/2 = 36,14

- ugotovimo, da je višina tistega pravokotnika, ki se deli za osnovo Gaussovega za modro LED, podano v podatkovnem listu ali vidno na grafikonu podatkovnega lista, običajno okoli 66 nm, in to je naša moč na vrhuncu 480 nm: 36,14 / 66 = 0,55

PREKRIVALA SVETLOJNIH FLUKSNIH OBMOČIJ

Za izračun dveh prekrivajočih se sevanj bom razložil s primerom z naslednjima dvema LED:

MODRA je pri 480 nm in ima 11 lm svetlobnega toka ZELENA je pri 530 nm in ima 35 lm svetlobnega toka

Iz grafikona vemo, da se obe Gaussovi krivulji konvergirata v -33nm in +33nm, zato vemo, da:

- MODRA seka os x v 447nm in 531nm

- ZELENA preseka os x v 497 nm in 563 nm

Jasno vidimo, da se dve krivulji sekata, saj je en konec prvega za začetkom druge (531nm> 497nm), zato se svetloba teh dveh LED diod v nekaterih točkah prekriva.

Najprej moramo izračunati enačbo parabole za oba. Priložena preglednica vam je v pomoč pri izračunih in vgradila je formule za reševanje sistema enačb za določitev dveh parabolov, ki poznata točki preseka osi x in točko:

MODRA parabola: y = -0.0004889636025x^2 + 0.4694050584x -112.1247327

ZELENA parabola: y = -0,001555793281x^2 + 1,680256743x - 451,9750618

v obeh primerih je a> 0 in, zato je parabola pravilno obrnjena navzdol.

Če želite dokazati, da so te parabole pravilne, izpolnite a, b, c v kalkulatorju ogljikov na tem spletnem mestu kalkulatorja parabole.

Na preglednici je že narejen vse izračun za iskanje presečišč med parabolami in za izračun določenega integrala za pridobitev presečnih površin teh parabolov.

V našem primeru je presečišče modrega in zelenega spektra LED 0,4247.

Ko imamo sekajoče se parabole, lahko to novo ustanovljeno presečno površino pomnožimo za Gaussov množitelj 0,4694 in najdemo zelo približen približek, koliko moči LED skupaj oddajajo v tem delu spektra. Če želite najti posamezen tok LED, ki se oddaja v tem razdelku, ga delite z 2.

6. korak: Študija monokromatskih LED eksperimentalne svetilke je zdaj končana

No, najlepša hvala za branje te raziskave. Upam, da vam bo koristno, da globoko razumete, kako svetloba oddaja svetilka.

Proučeval sem tokove LED posebne svetilke, izdelane s tremi vrstami enobarvnih LED.

"Sestavine" za izdelavo te svetilke so:

- 3 LED BLU

- 4 LED ZELENE

- 3 LED RDEČE

- 3 upori za omejevanje toka v vejah vezja LED

- 12V 35W napajanje

- Vtisnjena akrilna prevleka

- Nadzor OSRAM OT BLE DIM (krmilna enota LED LED)

- Aluminijasti hladilnik

- krepki in matice M5 ter L oklepaji

S svojim pametnim telefonom upravljajte vse z aplikacijo Casambi, vklopite in zatemnite lahko vsak LED kanal posebej.

Sestavljanje svetilke je zelo preprosto:

- LED pritrdite na hladilnik z dvostranskim trakom;

- spajajte vse zaporedne LED diode BLU z uporom in enako naredite z drugo barvo za vsako vejo vezja. Glede na LED, ki jih boste izbrali (uporabil sem Lumileds LED), boste morali izbrati velikost upora glede na to, koliko toka boste vnesli v LED, in glede na skupno napetost, ki jo daje napajalnik 12V. Če ne veste, kako to storiti, vam predlagam, da preberete to odlično navodilo o tem, kako določiti velikost upora, da omejite tok serije LED.

-priključite žice na vsak kanal Osram OT BLE: ves glavni pozitivni del vej LED gre na skupno (+), trije negativi vej pa na -B (modra) -G (zelena)) -R (rdeča).

- Priključite napajalnik na vhod Osram OT BLE.

Kar je kul pri Osram OT BLE, je, da lahko ustvarite scenarije in programirate LED kanale, kot lahko vidite v prvem delu videoposnetka zatemnim tri kanale, v drugem delu videa pa uporabljam nekaj vnaprej pripravljeni svetlobni scenariji.

SKLEPI

Veliko sem uporabil matematiko, da sem globoko razumel, kako se bodo tokovi teh svetilk širili.

Resnično upam, da ste se danes naučili kaj koristnega in se bom potrudil, da bom predstavil več primerov tako globokih uporabnih raziskav, kot je ta.

Raziskave so ključ!

Tako dolgo!

Pietro