Brachistochrone krivulja: 18 korakov (s slikami)

2024 Avtor: John Day | [email protected]. Nazadnje spremenjeno: 2024-01-30 12:04

Brahistokronska krivulja je klasičen fizikalni problem, ki izpelje najhitrejšo pot med dvema točkama A in B, ki sta na različnih višinah. Čeprav se ta težava morda zdi preprosta, ponuja nasprotno intuitiven rezultat in je zato zanimiva za opazovanje. V teh navodilih se bomo naučili o teoretičnem problemu, razvili rešitev in na koncu zgradili model, ki dokazuje lastnosti tega neverjetnega fizikalnega načela.

Ta projekt je zasnovan za srednješolce, saj pri pouku teorije pokrivajo povezane pojme. Ta praktični projekt ne le krepi njihovo razumevanje te teme, ampak ponuja tudi sintezo več drugih področij za razvoj. Na primer, med gradnjo modela se bodo študentje učili o optiki s pomočjo Snellovega zakona, računalniškega programiranja, 3D modeliranja, digitalnega fragiranja in osnovnih veščin obdelave lesa. To omogoča, da celoten razred prispeva k razdelitvi dela med seboj, zaradi česar je skupinsko delo. Čas, potreben za izdelavo tega projekta, je približno teden dni, nato pa ga je mogoče pokazati razredu ali mlajšim učencem.

Ni boljšega načina učenja kot skozi STEM, zato nadaljujte z izdelavo lastnega delujočega brahistokronskega modela. Če vam je projekt všeč, ga glasujte v razredu.

1. korak: Teoretični problem

Problem brahistokrona je tisti, ki se vrti okoli iskanja krivulje, ki združuje dve točki A in B, ki sta na različnih višinah, tako da B ni neposredno pod A, tako da bo padanje marmorja pod vplivom enotnega gravitacijskega polja po tej poti doseči B v najhitrejšem možnem času. Težavo je leta 1696 postavil Johann Bernoulli.

Ko je Johann Bernoulli junija 1696 bralcem knjige Acta Eruditorum, ki je bila ena prvih znanstvenih revij nemško govorečih dežel v Evropi, zastavil problem brahistokrona, je prejel odgovore 5 matematikov: Isaac Newton, Jakob Bernoulli, Gottfried Leibniz, Ehrenfried Walther von Tschirnhaus in Guillaume de l'Hôpital, ki imata edinstvene pristope!

Opozorilo: naslednji koraki vsebujejo odgovor in razkrivajo lepoto te najhitrejše poti. Vzemite si trenutek in razmislite o tem problemu, morda ga boste morda rešili tako kot enega od teh petih genijev.

2. korak: Uporaba Snellovega zakona za demonstracijo

Eden od pristopov za reševanje brahistokronskega problema je reševanje problema z analogijami s Snellovim zakonom. Snellov zakon se uporablja za opisovanje poti, po kateri bi svetlobni snop prehajal od ene točke do druge, medtem ko prehaja skozi dva različna medija, po Fermatovem načelu, ki pravi, da bo žarek svetlobe vedno šel po najhitrejši poti. Uradno izpeljavo te enačbe najdete na naslednji povezavi.

Ker lahko prosto padajoči predmet pod vplivom gravitacijskega polja primerjamo s svetlobnim snopom, ki prehaja skozi spreminjajoče se medije, vsakič, ko žarek svetlobe naleti na nov medij, žarek rahlo odstopi. Kot tega odstopanja je mogoče izračunati s pomočjo Snellovega zakona. Ko še naprej dodajamo plasti zmanjševanja gostote pred odklonjenim snopom svetlobe, dokler žarek ne doseže kritičnega kota, kjer se žarek preprosto odbije, pa pot žarka opisuje brahistokronsko krivuljo. (rdeča krivulja na zgornjem diagramu)

Brahistokronska krivulja je pravzaprav cikloid, ki je krivulja, ki jo sledi točka na obodu krožnega kolesa, ko se kolo premika vzdolž ravne črte, ne da bi zdrsnilo. Če torej želimo narisati krivuljo, lahko preprosto uporabimo zgornjo metodo za njeno generiranje. Druga edinstvena lastnost krivulje je, da bo žogica, sproščena s katere koli točke krivulje, potrebovala enak čas, da doseže dno. Naslednji koraki opisujejo postopek eksperimentiranja v razredu z izdelavo modela.

3. korak: Praktični eksperimentalni model

Model je sestavljen iz lasersko izrezanih poti, ki delujejo kot sledi za frnikole. Da bi dokazali, da je brahistokronska krivulja najhitrejša pot od točke A do B, smo se odločili, da jo primerjamo z dvema drugima potma. Ker bi kar nekaj ljudi intuitivno menilo, da je najkrajši del najhitrejši, smo se odločili, da kot drugo pot postavimo ravno pobočje, ki povezuje obe točki. Tretja je strma krivulja, saj se zdi, da bi nenaden padec ustvaril dovolj hitrosti, da bi premagal ostale.

Drugi poskus, v katerem se kroglice sproščajo z različnih višin na treh brahistohronskih poteh, ima za posledico, da krogle dosežejo hkrati. Tako naš model vsebuje 3D tiskana vodila, ki omogočajo enostavno zamenljivost med akrilnimi ploščami, kar omogoča izvedbo obeh poskusov.

Nazadnje sprostitveni mehanizem zagotavlja, da se kroglice spustijo skupaj in časovni modul na dnu beleži časovne razporeditve, ko krogle dosežejo dno. Da bi to dosegli, imamo vgrajena tri končna stikala, ki se aktivirajo, ko jih sprožijo kroglice.

Opomba: Lahko bi preprosto kopirali to obliko in jo naredili iz kartona ali drugih materialov, ki so lahko dostopni

4. korak: Potrebni materiali

Tu so deli in zaloge za izdelavo delovnega modela poskusa brahistokrona

STROJNA OPREMA:

1 "deska iz borovega lesa - mere; 100 cm x 10 cm

Neodimij Magnetx 4 - mere; Premer 1 cm in višina 0,5 cm

3D tiskalna nit- PLA ali ABS sta v redu

Navojni vložek M3 x 8 - (neobvezno)

Vijak M3 x 8 - 2,5 cm dolg

Leseni vijak dolžine 3 - 6 cm

Vijak za les, dolg 12 - 2,5 cm

ELEKTRONIKA:

Arduino Uno

Omejitveno stikalox 4- ta stikala bodo delovala kot časovni sistem

Pritisni gumb

LCD zaslon

Jumpwire x veliko

Skupni stroški modela so znašali okoli 30 USD

5. korak: 3D tiskanje

Več delov, kot sta sprostitveni mehanizem in krmilna omarica, je bilo izdelanih s pomočjo 3D tiskalnika. Naslednji seznam vsebuje skupno število delov in njihove specifikacije za tiskanje. Vse datoteke STL so na voljo v zgoraj priloženi mapi, kar omogoča po potrebi potrebne spremembe.

Nadzorna omarica x 1, 20% polnilo

Vodilo x 6, 30% polnilo

Stop Stop x 1, 20% polnilo

Vrtilna roka x 1, 20% polnilo

Vrtljivi nosilec x 1, 30% polnilo

Spustni kos x 1, 20% polnilo

Deli so bili natisnjeni v PLA, saj na kose ne vpliva poseben stres. Skupaj je tiskanje trajalo približno 40 ur.

Korak 6: Lasersko rezanje poti

Različne poti, ki smo jih oblikovali na fusion 360, smo izvozili kot datoteke.dxf in nato lasersko izrezali. Za krivulje smo izbrali neprozoren beli akril debeline 3 mm. Lahko ga celo naredimo iz lesa z ročnim orodjem, vendar je pomembno zagotoviti, da je izbrani material tog, saj lahko prožnost vpliva na to, kako se kroglice spuščajo.

6 x brahistokronska krivulja

2 x strma krivulja

2 x ravna krivulja

7. korak: Rezanje lesa

Okvir modela je izdelan iz lesa. Izbrali smo 1 "4 x 4" bor, saj nam je ostalo od prejšnjega projekta, čeprav lahko uporabimo les po svoji izbiri. S krožno žago in vodilom izrežemo dva kosa lesa dolžine:

48 cm, kar je dolžina poti

Višina 31 cm

Grobe robove smo očistili z rahlim brušenjem na brusilniku.

8. korak: Vrtanje lukenj

Preden dva kosa privijete skupaj, označite debelino lesa na enem koncu spodnjega dela in centrirajte tri enako oddaljene luknje. S 5 -milimetrskim bitom smo ustvarili pilotno luknjo na obeh kosih lesa in izvrtali luknjo na spodnjem delu, da omogočimo pogon glave vijaka v ravnini.

Opomba: Pazite, da ne razcepite navpičnega lesa, saj ga boste vrtali v končno zrno. Uporabljajte tudi dolge lesene vijake, saj je pomembno, da se okvir zaradi vzvoda ne trese in ne zatrese.

9. korak: vgradite hladilnike in magnete

Ker se niti v 3D tiskanih delih sčasoma obrabijo, smo se odločili za vgradnjo hladilnikov. Luknje so rahlo premajhne, da se hladilnik lahko bolje oprime plastike. Hladilnike M3 smo postavili na luknje in jih s konico spajkalnika potisnili vase. Toplota topi plastiko in pusti, da se zobje zagozdijo. Prepričajte se, da so poravnani s površino in da so šli pravokotno. Skupaj je 8 vložkov z navoji: 4 za pokrov in 4 za namestitev Arduino Uno.

Za lažjo montažo časovne enote smo v škatlo vgradili magnete, ki olajšajo odstranjevanje, če so kdaj potrebne spremembe. Magneti morajo biti usmerjeni v isto smer, preden jih potisnete na svoje mesto.s

10. korak: Pritrditev mejnih stikal

Tri končna stikala so pritrjena na eno stran časovne enote, ki gleda proti dnu poti. Tako, ko kroglice kliknejo stikala, je mogoče določiti, katera žogica je prva dosegla, in čas prikazati na LCD zaslonu. Spajkajte majhne trakove žice na sponke in jih pritrdite v reže z brisom CA lepila, ker se ne smejo popustiti po neprekinjenih trkih.

11. korak: LCD zaslon

Pokrov krmilne enote ima pravokotni izrez za LCD zaslon in luknjo za gumb "start". Zaslon smo pritrdili z brizganjem vročega lepila, dokler ni poravnan s površino pokrova, in pritrdil rdeč gumb s pritrdilno matico.

12. korak: Ožičenje elektronike

Ožičenje je sestavljeno iz povezovanja različnih komponent v desne zatiče na Arduinu. Sledite shemi ožičenja, ki je priložena zgoraj, da nastavite škatlo.

Korak: Nalaganje kode

Arduino kodo za projekt brachistochrone najdete spodaj. V predalu za elektroniko sta dve odprtini za enostaven dostop do programskih vrat Arduino in vtičnice.

Rdeči gumb, ki je pritrjen na vrhu škatle, se uporablja za zagon časovnika. Ko se frnikole spustijo po krivuljah in sprožijo mejna stikala, ki so nameščena na dnu, se časovno zaporedje zabeleži. Ko udarijo vse tri kroglice, se na LCD zaslonu prikažejo rezultati, poravnani z ustreznimi krivuljami (slike so priložene zgoraj). Ko zabeležite rezultate v primeru, da je potrebno drugo branje, preprosto znova pritisnite glavni gumb, da osvežite časovnik in ponovite isti postopek.

Korak 14: Vodniki za 3D tiskanje

3D vodila, ki so bila natisnjena, so imela 3 mm materialno podlago pred začetkom nosilnih sten. Zato bi, ko bi akrilne plošče pritrdile na mesto, nastala vrzel med ploščo in lesenim okvirjem, kar bi zmanjšalo stabilnost poti.

Zato je bilo treba vodilo za 3 mm vgraditi v les. Ker nismo imeli usmerjevalnika, smo ga odnesli v lokalno delavnico in ga opravili na rezkalnem stroju. Po malo brušenja so odtisi tesno prilegani in smo jih lahko pritrdili s stranskimi vijaki za les. Zgoraj je priložena predloga za postavitev 6 vodil na leseni okvir.

Korak 15: Dodajanje zamaška in časovne enote

Ker je bil časovni modul ločen sistem, smo se odločili za hitro montažo in demontažo z magneti. Na ta način lahko preprosto programirate, lahko preprosto odstranite enoto. Namesto da naredimo predlogo za prenos položaja magnetov, ki jih je treba vstaviti v les, jih preprosto pustimo, da se povežejo s tistimi na škatli, nato pa nanesemo malo lepila in škatlo položimo na kos lesa. Oznake lepila so bile prenesene na les, kar nam omogoča hitro vrtanje lukenj na natančnih mestih. Nazadnje pritrdite 3D natisnjeni zamašek in časovna enota naj se tesno prilega, vendar se lahko z rahlim vlečenjem odklopi

Korak 16: Mehanizem sproščanja

Mehanizem sproščanja je preprost. Z matico in vijakom tesno povežite odsek C z vrtljivo roko, tako da sta en varen kos. Nato izvrtajte dve luknji na sredini navpičnega lesa in pritrdite nosilec. Zavrtite vrtljivo gred in mehanizem je popoln.

17. korak: Poskus

Zdaj, ko je model pripravljen, lahko naredite naslednje poskuse

Poskus 1

Previdno potisnite akrilne plošče ravne poti, brahistokronske krivulje in strme poti (v tem vrstnem redu za najboljši učinek). Nato povlecite zapah navzgor in postavite tri kroglice na vrh krivulje, pri tem pazite, da so popolnoma poravnane med seboj. Držite jih trdno na mestu s zapahom navzdol. Naj en učenec sprosti žogice, drugi pa pritisne rdeč gumb, da zažene časovni sistem. Nazadnje opazujte kroglice, ki se spuščajo po poti, in analizirajte rezultate, prikazane na modulu za merjenje časa. Nastavitev kamere za snemanje počasnih posnetkov je še bolj razburljiva, saj si lahko ogledate dirko okvir za okvirjem.

Poskus 2

Tako kot prejšnji poskusni diapozitiv v akrilnih ploščah, tokrat pa morajo biti vse poti brahistotonkronova krivulja. Učenca previdno prosite, naj tokrat drži tri žoge na različnih višinah in pritisne rdeč gumb, ko se kroglice sprostijo. Oglejte si osupljiv trenutek, ko se žogice popolnoma poravnajo pred ciljno črto, in ugotovitve potrdite z rezultati.

18. korak: Zaključek

Izdelava brahistokronskega modela je praktičen način za prikaz čarobnih načinov delovanja znanosti. Poskusi niso le zabavni za gledanje in zanimivi, ampak ponujajo tudi sintezo učnih vidikov. Čeprav je projekt praktično in teoretično namenjen srednješolcem, lahko mlajši otroci zlahka razumejo to predstavitev in jo lahko prikažejo kot poenostavljeno predstavitev.

Ljudi želimo spodbuditi, da naredijo stvari, pa naj bo to uspeh ali neuspeh, saj je STEM na koncu dneva vedno zabaven! Veselo izdelavo!

Če vam je pouk všeč, oddajte svoj glas v razredu in pustite svoje povratne informacije v razdelku za komentarje.

Velika nagrada na znanstvenem tekmovanju v razredu